H28 2種2次試験機械制御 問4現代制御理論

電験2種

図に示す構造の制御系を考える。ここで\(r(t)\)は目標値,\(e(t)\)は制御偏差,\(u(t)\)は入力,\(x(t)\)は状態,\(y(t)\)は出力を表し,制御対象は次の状態方程式で記述される。

\[\displaystyle \dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t)\]

\[\displaystyle y(t)=cx(t)\]

\[\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},c=\begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix}\]

次の問に答えよ。

(1) 図中の直列補償器のゲイン\(k\)を零として,状態フィードバック係数ベクトル\( f=(f_1 \ f_2)\)を用いて見掛け上の制御対象の特性改善を図る。行列\(A−bf\)の固有値を−3,−4に配置する \(f\) を計算せよ。

(2) 上記小問(1)で求めた\(f\)を用いて特性改善をした見掛け上の制御対象に対して,目標値\(r(t)\)に出力\(y(t)\)が追従することを目的に,図に示すフィードバック制御系を構成した。閉ループ系が安定になるように直列補償器のゲイン\(k\)を設計できたとするとき,入力\(u(t)\) を\(x(t) , r(t) , c , f , k\)を用いて表せ。

(3) 上記小問(2)の入力\(u(t)\)を制御対象に加える。閉ループ系の状態方程式を \(\dot{x}(t) , x(t) , r(t) , A , b , c , f , k\)を用いて表せ。

(4) 上記小問(3)で求めた状態方程式の中の\(A , b , c , f\)に,与えられた数値及び上記小問(1)で求めた数値を代入して整理せよ。ただし,\(k\)は変数のままとする。

(5) 目標値の大きさ\(r_0\)でステップ状に変化させる場合を考える。上記小問(2)の仮定より閉ループ系は安定なので,状態\(x(t)\)は定常,すなわち \(\dot{x}(∞)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)となる。このときの定常値\(x(∞)\)を\(k\)と\(r_0\)を用いて表せ。

(6) 関係式\(e(∞)=r_0−y(∞)=r_0−cx(∞)\)を使って,定常偏差\(e(∞)\)を\(k\)と\(r_0\)を用いて表せ。

現代制御

 

 

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