2020年問５自動制御　周波数特性とゲイン

図１のブロック線図に示したシステムを考える。ここで、$G(s)$はシステムの伝達関数、$U(s)$は入力信号、$y(t)$は出力信号である。

ここで伝達関数$G(s)$が次の式①で与えられるとする。

$$\displaystyle G(s)=\frac{2}{s^3 + 2s^2 +2s +3}・・・①$$

１）システム$G(s)$の周波数特性を考える。

$G(s)$において、$S=j\omega$（$j$は虚数単位、$\omega$は角周波数）としてボード線図を描くと、十分低い周波数でのゲインは$\fbox{1}[dB]$となる。

また、十分高い周波数でのボード線図のゲイン曲線の傾きは、$\fbox{2}[dB/dec]$となる。なお、$\log 2 =0.301$、$\log 3 =0.477$とする。

２）システム$G(s)$の時間応答を考える。

入力信号として、大きさ$3$のステップ信号$u(t)=3(t \geq 0)$を加えるとする。十分に時間が経過したときの出力信号$y(t)$は$\fbox{3}$となる。

３）２）と同様に時間応答を感がえる。ここで、入力信号として、正弦波信号$u(t)=\sin (t)$を加えて十分に時間が経過したときの出力信号$y(t)$を求めたい。

ⅰ)$s=j\omega$として周波数伝達関数を計算する。ここで、入力信号$u(t)$の角周波数は$\omega = 1 [rad/s]$であるから、周波数伝達関数$G(j\omega)$は、$\fbox{4}$となる。

ⅱ）このとき、出力信号$y(t)$の振幅は$\fbox{5}$であり、角周波数は$\fbox{6}[rad/s]$、位相は$\fbox{7}[rad]$と求められる。