2020年問5自動制御 周波数特性とゲイン

過去問解説

 

図1のブロック線図に示したシステムを考える。ここで、\(G(s)\)はシステムの伝達関数、\(U(s)\)は入力信号、\(y(t)\)は出力信号である。

ここで伝達関数\(G(s)\)が次の式①で与えられるとする。

\[\displaystyle G(s)=\frac{2}{s^3 + 2s^2 +2s +3}・・・①\]

1)システム\(G(s)\)の周波数特性を考える。

\(G(s)\)において、\(S=j\omega\)(\(j\)は虚数単位、\(\omega\)は角周波数)としてボード線図を描くと、十分低い周波数でのゲインは\(\fbox{1}[dB]\)となる。

また、十分高い周波数でのボード線図のゲイン曲線の傾きは、\(\fbox{2}[dB/dec]\)となる。なお、\(\log 2 =0.301\)、\(\log 3 =0.477\)とする。

2)システム\(G(s)\)の時間応答を考える。

入力信号として、大きさ\(3\)のステップ信号\(u(t)=3(t \geq 0)\)を加えるとする。十分に時間が経過したときの出力信号\(y(t)\)は\(\fbox{3}\)となる。

3)2)と同様に時間応答を感がえる。ここで、入力信号として、正弦波信号\(u(t)=\sin (t)\)を加えて十分に時間が経過したときの出力信号\(y(t)\)を求めたい。

ⅰ)\(s=j\omega\)として周波数伝達関数を計算する。ここで、入力信号\(u(t)\)の角周波数は\(\omega = 1 [rad/s]\)であるから、周波数伝達関数\(G(j\omega)\)は、\(\fbox{4}\)となる。

ⅱ)このとき、出力信号\(y(t)\)の振幅は\(\fbox{5}\)であり、角周波数は\(\fbox{6}[rad/s]\)、位相は\(\fbox{7}[rad]\)と求められる。

 

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