2018年問5 自動制御外乱を含むブロック線図と周波数応答

過去問解説

 

(1)図に示すようなブロック線図であらわしたフィードバック制御系を考える。ここで

目標値を\(r(t)\)、外乱を\(d(t)\)とし、\(R(s)\)は\(r(t)\)を、\(D(s)\)は\(d(t)\)を、\(Y(s)\)は\(y(t)\)をそれぞれラプラス変換したものとする。ただし、\(k_1\)、\(k_2\)及び\(k_3\)は正の定数である。

1)まず、外乱\(D(s)\)を0として、目標値\(R(s)\)から制御量\(Y(s)\)までの伝達関数を計算すると、\(\fbox{1}\)を得る。同様に目標値\(R(s)\)を0として、外乱\(D(s)\)からの制御量\(Y(s)\)までの伝達関数を計算すると、\(\fbox{2}\)を得る。

2)いま、図に示す制御系が安定で終息するという条件を満たしている前提で目標値を\(r(t)=0\)と設定したときに、外乱がくわえられた状況を考える。

もし外乱が\(d(t)=1(t \geq 0)\)であるとすると、制御量\(y(t)\)の定常値\(\displaystyle \lim_{ t \to \infty } y(t)\)は\(\fbox{3}\)となる。

また、もし外乱が\(d(t)=t(t \geq 0)\)であるとすると、制御量\(y(t)\)の定常値\(\displaystyle \lim_{ t \to \infty } y(t)\)は\(\fbox{4}\)となる。

3)次に、このフィードナック系の安定性について確認する。たとえば。フィードバック要素の\(k_1\)を1とし、一次遅れ要素の\(k_3\)を3としたとき、系が安定で終息するためには、積分要素の\(k_2\)は\(\fbox{5}\)である必要がある。

(2)次式の伝達関数\(G(s)\)で示される安定な二次遅れ系について考える。ここで、\(K\)はゲインで正の実数、\(\omega_n\)は固有角周波数で正の実数、\(\zeta\)は減衰係数で正の実数である。

\[\displaystyle G(s)=\frac{K \omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+{\omega_n}^2}\]

この系で、\(\omega_n\)を\(\fbox{6}\)すれば系の応答速度を向上させるように作用し、\(\fbox{7}\)すれば振動を抑制するように作用する。

2)また、この系にステップ入力を加えたとき、その応答に「オーバーシュートを生じさせないための条件は\(\fbox{8}\)である。

 

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